[Random Process] Random Variables

0. Random varialbe (확률변수)

Definition

A random variable consists of
1) an expriment with a probability measure $P[\cdot ]$ defined on a sample space $S$
2) and a function that assigns a real number to each outcome in the sample space of the experiment.

• 확률변수는 확률실험의 표본 공간의 원소인 결과들에 숫자를 부여하는 것이다.
• 즉, 확률변수는 다양한 사건들에 대한 확률을 계산하기 쉽도록 하는 변수가 아니라 관측 함수이다.

Ex

• 광섬유에 광 검출기를 달아 $10^{-6}$초 동안 도착하는 광전자의 수를 세는 확률실험을 한다고 하자. 이 때, 각각의 관측을 확률변수 X로 볼 수 있다. 그러면 X의 치역은 $S_X = {0,1,2,…}$이고, 표본공간 S와 같게 된다.

1. Discrete Random Variables (이산 확률변수)

1-1. Definition

X is a discrete random variable, if the range of X is a countable set.
만약 확률변수 X의 치역이 셀 수 있는 집합이면, X는 이산 확률변수이다.

1-2. Probability Mass Funciton (PMF - 확률질량함수)

The PMF of a r.v. $X$ expresses the probability model of an expreiment as a mathematical funciton. The funciton is the probability $P[X=x]$ for every number $x$.
확률변수 $X$의 PMF는 확률실험의 확률 모델을 수학적 함수로 표현한 것이다. 그 함수는 각 숫자 $x$에 대한 확률 $P[X=x]$ 이다.
$P_X(x) = P[X=x]$

1-3. Theorem of PMF

For a discrete r.v. $X$ with PMF $P_X(x)$ and range $S_X$:
(a) For any x, $P_X(x) \ge 0$
(b) $\sum_{x \in S_X} P_X(x) = 1$
(c) For any event $B \subset S_X$, the probability that $X$ is in the set $B$ is \(P[B]=\sum_{x\in B}P_X(x)\)

Reference

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본 포스트는 다음 자료를 기반으로 작성되었습니다.

• GIST 황의석 교수님의 Random Process 강의
• Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers
• Hwei Hsu, Schaum’s Outline of Probability, Random Variables, and Random Processes
• Roy D. Yates, David J. Goodman - Probability and Stochastic Processes_ A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers

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